sok csodálatos dolog van a matematikában, de
a háromszögeknél semmi sem csodálatosabb
(Szofoklész után szabadon)
A háromszög (számomra) nevezetes pontjai
Miért is? Húzzunk találomra három egyenest a síkon, minden megkötés nélkül (na jó, ne legyenek köztük párhuzamosak, és ne menjenek át egy ponton),
ekkor egy háromszög keletkezik. Most húzzuk meg az oldalfelezőket: egy ponton mennek át, a szögfelezők: úgyszintén,
a magasságvonalak, súlyvonalak szintúgy. És még sok-sok más vonalak is. (Akkora csoda ez, mintha mondjuk találomra
kiválasztott három szám, minden esetben pitagoraszi számhármas lenne, meg még osztanák is egymást.)
Ezeket a pontokat nevezetes pontoknak nevezzük, Clark Kimberling nevezetes enciklopédiájában már több mint 8000-et
sorol fel. Ld.: (http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html)
Persze ezek jó része nem igazán nevezetes, (mert ha például már van tíz pontunk és hozzávesszük bármely kettő
felezőpontját, mindjárt 45-tel többen lesznek), az alábbiakban kigyűjtöttem azokat, amelyek mégiscsak különlegesnek mondhatók.
Modern matematikai algebra programok (Mathematika, Maple) segítségével magunk is találhatunk új nevezetes pontokat,
sokat valóban nemrég fedeztek fel. Ehhez bőven elegendő a középiskolai geometria ismerete, lényegében csak az egyenesek
egyenletét kell felírni a program aztán eldönti, hogy az egyenesek egy ponton mennek-e át és ha igen készen is vagyunk,
nem kell törnünk a fejünket a bizonyításon. A dolog nyitja, hogy néha sok egyenletet kell felírni, ezeket kézzel már
lehetetlen lenne megoldani és egy geometriai bizonyítás is igen bonyolult volna. Egy algebra program segítségével
viszont egy este zöbb tucat esetet is megvizsgálhatunk.
A háromszög válogatott nevezetes pontjai
1. feladatbokor
Rajzoljunk a háromszög oldalaira kifelé egyenlőoldalú háromszögeket, melyek csúcsszöge az
alapháromszög szemközti szögével egyenlő (tehát az a oldalra α-szögűt).
Tekintsük a külső háromszögek nevezetes pontjait és kössük össze az alapháromszög
szemközti csúcsaival. Ezek az egyenesek mikor mennek át egy ponton?
2. feladatbokor
Rajzoljunk a háromszög oldalaira befelé egyenlőoldalú háromszögeket, melyek csúcsszöge az alapháromszög szemközti
szögével egyenlő (tehát az a oldalra α-szögűt). Tekintsük a külső háromszögek nevezetes pontjait és kössük össze
az alapháromszög szemközti csúcsaival. Ezek az egyenesek mikor mennek át egy ponton?
3. feladatbokor
Tükrözzük a háromszöget az oldalaira kifelé. Tekintsük a külső háromszögek nevezetes pontjait
és kössük össze őket az alapháromszög szemközti csúcsaival. Ezek az egyenesek mikor mennek át egy ponton?
4. feladatbokor
Tükrözzük a háromszöget az oldalaira befelé. Tekintsük a külső háromszögek nevezetes pontjait és kössük össze őket
az alapháromszög szemközti csúcsaival. Ezek az egyenesek mikor mennek át egy ponton?
5. feladatbokor
Tekintsük az ABC háromszög X[n] pontját. Ezt a pontot a csúcsokkal összekötve a háromszöget három részháromszögre
bonthatjuk. Tekintsük a részháromszögek X[m] pontjait és kössük össze őket a szemközti csúcsokkal. Ezek az egyenesek
mikor mennek át egy ponton?
6. feladatbokor
Tekintsük az ABC háromszög X[n] pontját. Az AX[n], BX[n], CX[n] vonalak a szemközti oldalakat az A1, B1, C1 pontokban
metszik. Most vegyük az AB1C1, BA1C1, CA1B1 kis háromszögek X[m] pontjait és kössük össze őket az A, B, C csúcsokkal.
Ezek az egyenesek mikor mennek át egy ponton?
7. feladatbokor
Tekintsük az ABC háromszög X[n] pontjának az oldalakra eső A1, B1, C1 talpontjait. Most vegyük az AB1C1
BA1C1, CA1B1 kis háromszögek X[m] pontjait és kössük össze őket az A, B, C csúcsokkal. Ezek az egyenesek
mikor mennek át egy ponton?