HÁROMSZÖGSZERKESZTÉSI FELADATOK

Bevezetés

Az alábbiakban azokat a háromszögszerkesztési eseteket vizsgáljuk, melyeknél az alábbi adatok közül valamely három van megadva.

a háromszög szögei α, β, γ
a háromszög oldalai a, b, c
a háromszög súlyvonalai sa, sb, sc
a háromszög magasságvonalai ma, mb, mc
a háromszög belső szögfelezői fa, fb, fc
a háromszög külső szögfelezői Fa, Fb, Fc (F =∞ is lehetséges)
a háromszög körülírt körének sugara R
a háromszög beírt körének sugara r
a háromszög hozzáírt köreinek sugara ra, rb, rc
a háromszög kerülete k
a háromszög területe T
valamely két szög különbsége α - β β – γ γ – α
valamely két oldal különbsége a - b b-c c-a
valamely két oldal összege a + b b+c c+a
valamely két oldal szorzata a * b b*c c*a
valamely két oldal aránya a / b b / c c / a

Ezek az adatok 752 típusfeladatot határoznak meg, ld. a táblázatot. A legtöbb esetben egy-egy típusfeladat további alfeladatokra bomlik, pl. α, a, sa, esetén az alábbi öt eset lehetséges:?????????

Sok esetben nem sikerült geometriai megoldást találni, hanem csak egy olyan képletet levezetni, amely a háromszög egyik oldalát fejezi ki a megadott adatokkal. Ha ez a kifejezés csak a négy alapműveletet és négyzetgyökvonást tartalmaz, akkor a háromszög szerkeszthető, az ilyen szerkesztést (szakaszok összeadását, kivonását, szorzását, osztását ill. egy szakasz négyzetgyökének megszerkesztését) ismertnek tételezzük fel.

Amennyiben két oldal szorzata adott, pl a*b, akkor az egy négyzet formájában van megadva, melynek területe a*b.
Amennyiben két oldal hányadosa adott, pl a/b, akkor az két szakasz formájában van megadva, melyek aránya a:b.
Ha a háromszög területe adott, akkor az egy négyzet formájában van megadva.

Az egyes feladatok kidolgozása az alábbi pontokat tartalmazza:

α.)
A szerkesztés elvének rövid leírása. Ha a feladat szerkesztéssel nem oldható meg, akkor egy olyan másodfokúnál magasabbfokú egyenlet megadása, melynek gyöke a háromszög valamelyik oldala vagy szöge, együtthatói pedig az adott adatok kifejezései. Ilyenkor meg kell vizsgálni, hogy az egyenlet nem felbontható, erre a feladatban mutatunk példát, a többi esetben ezt a vizsgálatot az olvasóra bízzuk.

β.)
A megoldás feltétele, mikor hány megoldás van.

γ.)
Ha csak két adatot tekintünk, mekkora lehet a harmadik minimuma ill. maximuma. A tetszés szerinti kicsi, de nem nulla értéket ε – nal, az akármilyen nagy, de nem végtelen mennyiságet ∞ - ε -nal jelöljük.

δ.)
A háromszög egyik oldalának, vagy szögének kifejezése a megadott adatok segítségével.

ÁTNÉZÉSI SZEMPONTOK

- ha két megoldás van, azok mikor egyformák, azaz mikor van mégis csak egy megoldás?

- a β pontban, ha két adathoz keressük a harmadik minimumát ill. maximumát, a két adatra van-e megkötés? Pl.: r < R kell legyen.